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Summary: Matem´aticas I
TAREA IV
1. Es bien sabido que el intervalo (0, 1) no es compacto. De un ejemplo de una cubierta
abierta del intervalo (0, 1) que no posea una subcubierta finita.
2. Sabemos que si {Kn} es una sucesi´on de conjuntos compactos tal que Kn+1 Kn,
entonces
n=1 Kn = . Demuestre que esto deja de ser un hecho si sustituimos "com-
pactos" por "cerrados" ´o bien por "acotados".
3. Sea I = [0, 1]. Describa el conjunto f(I) en cada uno de los siguientes casos e identifique
sup f(I) e´inf f(I). ¿En qu´e casos f alcanza el supremo y en qu´e casos alcanza el´infimo?
a) f(x) = 1 + x para toda x I.
b) f(x) = 1 si x < 1/2 y f(x) = 2x en otro caso.
c) f(x) = x si x < 1 y f(1) = 2.
d) f(0) = 1, f(1) = 0 y f(x) = 3x para toda x (0, 1).
4. En cada uno de los siguientes incisos encuentre (1) el m´aximo de la forma cuadr´atica
Q(x) sujeta a la condici´on xT
x = 1, (2) un vector unitario u en el que se alcance el
m´aximo y (3) el m´aximo de Q(x) sujeta a la condici´on xT
x = 1 y xT
u = 0.
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