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Westfalische Wilhelms-Universitat Munster WS 2003/04 Institut fur Numerische Mathematik
 

Summary: Westf¨alische Wilhelms-Universit¨at M¨unster WS 2003/04
Institut f¨ur Numerische Mathematik
Prof. Dr. A. Arnold / E. Dhamo
13. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung "Partielle Differentialgleichungen"
(Kompakte Operatoren, Fouriersynthese)
1. Aufgabe (7 Punkte)
Man diskutiere die Methode der Eigenfunktionsentwicklung f¨ur:
ut = uxx, (x, t) (0, L) × (0, ),
ux(0, t) = u(0, t), u(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x), x (0, L).
Hinweis: Entwickeln Sie nach Eigenwerten/Eigenfunktionen (wo liegen die Eigenwerte?); pr¨ufen
Sie die Voraussetzungen f¨ur den Entwicklungssatz einzeln nach: Invertierbarkeit von L (L = 2
x
mit geeignetem Definitionsbereich!); Symmetrie; Kompaktheit von L-1 auf L2(0, L) (betrachten
Sie dazu die Abbildung f L-1f = v mit vxx = f L2(0, L), vx(0) - v(0) = 0, v(L) = 0. v
kann dann durch zweimalige Integration explizit dargestellt werden).
2. Aufgabe (7 Punkte)
Man betrachte die Schr¨odingergleichung f¨ur die komplexwertige Wellenfunktion u:
() - iut = uxx - V (x)u =: Lu auf R, t R,
mit homogenen Randbedingungen und dem Anfangswert u(t = 0) = u0 L2

  

Source: Arnold, Anton - Institut für Analysis und Scientific Computing, Technische Universität Wien

 

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