Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Mat tanri I/5. 4. feladatsor: megoldsok 2000. oktber 3. 1. Lehet csupn a de ncikra tmaszkod megoldsokat is adni; itt helyenknt az egyszersg kedvrt olyan
 

Summary: Mat tanári I/5. 4. feladatsor: megoldások 2000. október 3.
1. Lehet csupán a deníciókra támaszkodó megoldásokat is adni; itt helyenként  az egyszer¶ség kedvéért  olyan
bizonyítások következnek, amelyekben szerepel a számok kanonikus felbontása. Többször is kihasználjuk a
legkisebb közös többszörösnek azt a tulajdonságát, hogy ha egy prímhatvány, p osztja [a; b]-t, akkor osztja
a és b valamelyikét is.
a) (a; b) = (a + b; a b) hamis : ha pl. a és b mindketten páratlanok, akkor a legnagyobb közös osztójuk
is páratlan lesz, ezzel szemben a + b és a b páros lévén, 2 j(a + b; a b). Megjegyzend® azonban,
hogy egyrészt (a; b) j a + b és (a; b) j a b, tehát (a; b) j(a + b; a b), másrészt, az alaplemma alapján
(a + b; a b) = (a + b; 2a), és hasonlóan (a + b; a b) = (a + b; 2b), tehát (a + b; a b) j(2a; 2b), ami egy
korábbi eredmény alapján egyenl® 2(a; b)-val. Tehát valójában legföljebb egy 2-es faktorban térhetnek
csak el a vizsgált legnagyobb közös osztók.
b) (a; bc) = (a; b)(a; c) hamis : általában pl. (a; a 2 ) = a 6= a 2 = (a; a)(a; a).
c) (a; bc) = 1 , (a; b) = 1, (a; c) = 1 igaz : következik pl. a legnagyobb közös osztó lineáris kombinációként
való el®állíthatóságából.
d) (a; b; c) = 1 ) (a; b) = 1, vagy (a; c) = 1, vagy (b; c) = 1 hamis : ez látszik pl. az a = 6, b = 10, c = 15
választással.
e) (a; b; c) = (a; b); (a; c)

igaz : könnyen ellen®rizhet® a deníciókból és a a legnagyobb közös osztók
kitüntetett tulajdonságából, hogy (a; b; c) j (a; b); (a; c)

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics