Summary: Algebra sáv Homologikus algebra 2001. december 10.
1. Mutassuk meg, hogy egy rövid egzakt sorozat pontosan akkor homotóp a 0 komplexussal, ha fölhasadó.
2. Legyen G tetsz®leges Abel-csoport, C pedig p-exponens¶ Abel-csoport (p prím). Mutassuk meg, hogy
Ext 1
ZZ
(C; G) ' Hom ZZ (C; G=pG). (Megjegyzés: Ez tkp. véletlen izomorzmus.)
3. Jelölje P 1 azoknak a jobb R-modulusoknak a halmazát, melyekre pd M < 1. Tegyük föl, hogy minden
injektív R-modulus benne van P 1 -ben. Bizonyítsuk be, hogy f X 2 Mod -R j Ext 1
R (X; Y ) = 0 8Y 2 P 1 g =
f X 2 Mod -R j Ext i
R (X; Y ) = 0 8Y 2 P 1 ; 8 i > 0 g :
4. Legyen véges irányított gráf, melyben nincsenek irányított körök. Igazoljuk, hogy ha K tetsz®leges test,
akkor a K gráfalgebra örökl®d®.
5. Legyen e 2 = e primitív idempotens az A véges dimenziós bázisalgebrában. Legyen S = eA=e radA, és tegyük
föl, hogy Ext i
A (S; S) = 0 minden i  1-re, továbbá pd S = k < 1. Legyen B = EndA (1 e)A

. Mutassuk
meg, hogy gl:dim B  gl:dim A + k 1.
6. Számítsuk ki a következ® algebra globális dimenzióját: A = K =I , ahol a gráf az alábbi:
: 1

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

Collections: Mathematics