Summary: Universit´e d'Orl´eans
UFR Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Master de Math´ematiques
M1S1MT05 ­ Analyse fonctionnelle
Automne 2007
Page web :
http : //www.univ­orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF1.html
2. Th´eor`eme de Hahn­Banach
Th´eor`eme 1 (Hahn­Banach analytique) : Soient E un espace norm´e (r´eel ou com-
plexe) et F un sous-espace de E . Alors toute forme lin´eaire continue f sur F se
prolonge en une forme lin´eaire continue f sur E avec |||f||| = |||f|||.
Dans le cas r´eel, le th´eor`eme 1 est un corollaire du th´eor`eme 2 ci­dessous. Le cas complexe
s'en d´eduit au moyen du lemme suivant.
Lemme : Soient E un espace norm´e complexe et u, v : E - R . Alors :
(i) f = u + iv est une forme lin´eaire complexe u et v sont deux formes lin´eaires
r´eelles li´ees par u(x) = v(ix) i.e. v(x) = - u(ix) xE .
(ii) Dans ce cas, f est continue u est continue v est continue.
(iii) Dans ce cas, |||f||| = |||u||| = |||v|||.
D´efinition : Une jauge sur un espace vectoriel r´eel (ou complexe) E est une application

Source: Anker, Jean-Philippe - Laboratoire de Mathématiques et Applications, Physique Mathématique, Université d'Orléans

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