Summary: Instituto Superior T’ecnico
Departamento de Matem’atica
Sec›c”ao de ’
Algebra e An’alise
GEOMETRIA DIFERENCIAL ­ Exame Final
LMAC/MMA ­ 1 o Semestre 2001/02
Data de entrega: 15 de Janeiro de 2002
1. Seja M uma variedade diferenci’avel. Mostre que o seu espa›co tangente TM ’e uma
variedade diferenci’avel naturalmente orientada (independentemente de M ser ou n”ao
orient’avel).
2. Considere o fibrado vectorial # : T # M # M , onde M ’e uma variedade diferenci’avel,
T # M = n (p, #) : p # M , # # T #
p M o # o seu espa›co cotangente, e #(p, #) = p a pro­
jec›c”ao natural. Defina em T # M uma forma diferencial de grau 1, #
## 1 (T # M ), pela
f’ormula
# (p,#) (X) = #(# # (X)) , #X # T (p,#) (T # M).
(a) Determine a express”ao de # em coordenadas locais de T # M .
(b) Mostre que a forma­2 definida por # = d# ’e n”ao­degenerada, ou seja
#(X, Y ) = 0 , #Y # T (T # M) # X = 0.

Source: Abreu, Miguel - Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa

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