Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Mat. BSc tanri ZH, 2007/11/27 Megoldsvzlatok Algebra3 1. Els megolds : A Gauss-egszek euklideszi gyr, ezrt minden idel fidel (0.1 pont).
 

Summary: Mat. BSc tanári ZH, 2007/11/27  Megoldásvázlatok Algebra3
1. Els® megoldás : A Gauss-egészek euklideszi gy¶r¶, ezért minden ideál f®ideál (0.1 pont).
Ha I = (3 + i; 7 + i) = (Ć), akkor Ć a két Gauss-egész lnko-ja (0.1 pont). 2 2 I = (Ć) ()
Ć j 2, tehát ezt kell vizsgálni (0.2 pont). Ć j (7+ i) (3+ i) = 4, és így Ć j 4 (3+ i) = 1 i
(0.3 pont). Tehát Ć j 1 i, és mivel 1 i j 2, ezért Ć j 2, azaz 2 2 I (0.3 pont).  Variánsok:
Az lnko kiszámítható euklideszi algoritmussal, illetve a két szám faktorizációjával is. 
A fenti gondolatmenet elmondható az lnko nélkül is. Mivel 7 + i 2 I és 3 + i 2 I, ezért
(7+ i) (3+ i) = 4 2 I, majd 4 (3+ i) = 1 i 2 I, és innen 2 = (1+ i)(1 i) 2 I. Ennek
az a szépséghibája, hogy nemleges válasz esetén nem vezet el a bizonyításhoz.  Második
megoldás : I elemei az (3 + i) + (7+ i) Gauss-egészek, tehát azt kell megnézni, hogy a 2
el®áll-e ilyen alakban (0.2 pont). Azaz: (a+bi)(3+i)+(c+di)(7+i) = 2 teljesül-e alkalmas
a; b; c; d egészekkel (0.1 pont). Beszorozva és a valós és képzetes részeket összehasonlítva a
3a b + 7c d = 2, a + 3b + c + 7d = 0 lineáris diofantikus egyenletrendszert kapjuk (0.2
pont). Az els®b®l pl. b-t kifejezve és ezt a másodikba beírva 10a+22c+4d = 6 adódik (0.2
pont). Ez megoldható, mert pl. a = 0-val 11c + 2d = 3 és itt a 11 és a 2 relatív prímek (s®t
ránézésre c = 1, d = 4, és innen a = 0, b = 9 egy megoldás) (0.3 pont).
2. Ha és algebrai, akkor  mivel algebrai számok összege és szorzata is algebrai 
100 + 2007 is algebrai, ami ellentmondás (0.3 pont). Ha algebrai és transzcendens,
akkor mivel = 3 + 8 algebrai, ezért 8 = 3 is algebrai (0.2 pont), és így a 8-
adik gyöke, azaz is algebrai lenne, ami ellentmondás (0.2 pont). Ugyanígy látható be,

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics