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Universit Paris Diderot UFR de mathmatiques
 

Summary: Université Paris Diderot
UFR de mathématiques
Licence de mathématiques
L3 ­ Logique et théorie des ensembles
Devoir no
2
À rendre le 9 mars 2011
Exercice 1.
1. Soit X un ensemble. Montrer l'existence de l'ensemble des relations d'équivalence sur X.
2. Montrer qu'il n'existe pas d'ensemble qui contient comme éléments tous les ensembles de la forme
PX, où X est un ensemble quelconque.
Exercice 2. Soit f : X Y une application croissante de (X, ) vers (Y, ). On dit que f est ajointe
à gauche de l'application croissante g : Y X si
x X, y Y, f(x) y x g(y).
Dans ce cas, on dit que g est adjointe à droite de f.
1. Si f est une bijection croissante dont l'inverse est croissante, montrer que f admet une adjointe à
droite.
2. Montrer que l'adjointe à gauche, si elle existe, est unique.
3. Montrer que les adjonctions se composent, c'est-à-dire, si f : X Y est adjointe à gauche de
f : Y X, et si g : Y Z est adjointe à gauche de g : Z Y , alors g f : X Z est adjointe

  

Source: Abbes, Samy - Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes, Université Paris 7 - Denis Diderot

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences