Summary: Universit´e d'Orl´eans
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Licence de Math´ematiques
SCL5MT01 ­ Analyse fonctionnelle
Automne 2006
Feuille 5 d'exercices
Espaces m´etriques complets
1. Dans un espace m´etrique, montrer qu'une suite (xn) converge vers un point x si et
seulement si toute sous­suite de (xn) poss`ede une sous­sous­suite convergeant vers x .
2. Dans un espace m´etrique, montrer l'´equivalence des conditions suivantes :
(i) La suite (xn) converge vers le point x .
(ii) (xn) est une suite de Cauchy , dont une sous­suite converge vers le point x .
3. Dans un espace m´etrique (X, d) , montrer qu'une suite (xn) est de Cauchy si et
seulement si le diam`etre de An = { xm | m n } tend vers 0 .
Rappel : Le diam`etre d'une partie A (non vide) born´ee dans X est d´efini par
(A) = sup { d(x, y) | x, y X } .
4. Montrer l'´equivalence des conditions suivantes :
(i) L'espace m´etrique (X, d) est complet.
(ii) Dans X, toute famille d´ecroissante F0 F1 . . . de ferm´es non vides, dont le

Source: Anker, Jean-Philippe - Laboratoire de Mathématiques et Applications, Physique Mathématique, Université d'Orléans

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