Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Mat tanri I/5. 9. feladatsor: megoldsok 2000. nov. 7. 1. 1 s n kztt legfljebb legfljebb n darab olyan egsz szm van, amely relatv prm n-hez; egyenlsg csak
 

Summary: Mat tanári I/5. 9. feladatsor: megoldások 2000. nov. 7.
1. 1 és n között legföljebb legföljebb n darab olyan egész szám van, amely relatív prím n-hez; egyenl®ség csak
akkor állhat fönn, ha a fölsoroltak közül minden szám, beleértve n-et is, relatív prím n-hez. Ez csak n = 1
esetén áll fönn.
2. a) '(n) = 1 pontosan akkor, ha n = 1 vagy n = 2. Hogy más megoldás nincs, következik pl. abból, hogy
1 és n 1 mindig relatív prím n-hez, ha tehát ezek nem negatívak és különböz®k, akkor '(n)  2.
b) '(n) = 2 pontosan akkor, ha n = 3; 4 vagy 6. A megoldásokra ugyanis annak kell teljesülnie, hogy 1-en
és n 1-en kívül nincs más redukált maradékosztály, így vagy n = 3, vagy 2 nem relatív prím n-hez,
azaz n páros. Ez utóbbi esetben n=2 paritásától függ®en vagy (n=2) 1, vagy (n=2) 2 lesz relatív
prím n-hez, s ebb®l azt kapjuk, hogy vagy (n=2) 1 = 1, azaz n = 4, vagy (n=2) 2 = 1, azaz n = 6.
 Másik megoldás lett volna, ha használjuk '(n)-nek az n kanonikus alakjából adódó képletét.
c) '(n) = 4 pontosan akkor, ha n = 5; 8; 10 vagy 12. Egyszer¶ számolás igazolja, hogy ezek megoldások
lesznek. Másrészt a b) részhez hasonló gondolatmenet mutatja, hogy más nem lesz megoldás. Itt
azonban talán már inkább érdemes a képlettel számolnunk. Ha n = p 1
1 p 2
2    p k
k , ahol i  1 minden
i-re, és n megoldása az egyenletnek, akkor 4 = '(n) = (p 1
1 p 1 1
1 )(p 2

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics