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Summary: EJERCICIOS DE REPASO DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
(*)1) Dada una permutaciŽon Sn, demostrar que
sgn() :=
1i
(i) - (j)
i - j
toma los valores 1 o -1 y que coincide con el signo de la permutaciŽon.
2) Demostrar, a partir del teorema de estructura de los grupos abelianos finitos, que todo
grupo abeliano finito G posee subgrupos de orden cualquier divisor de |G|.
3) Demostrar que Sn estŽa generado por las transposiciones, y que An estŽa generado por
los 3-ciclos.
4) Demostrar que el subconjunto {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} de S4 es un sub-
grupo normal.
5) Encontrar todos los subgrupos del grupo diŽedrico D4, indicando cuŽales son normales.
6) Sea A un anillo con caracterŽistica un nŽumero primo p. Demostrar que (a+b)p
= ap
+bp
para cualesquiera a, b A. MŽas en general, (a+b)pk
= apk
+bpk
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