| | |
Summary: Mat tanári I/5. 6. feladatsor: megoldások 2000. okt. 17.
1. 312 1999 2001
( 1) 1999 2001
= 1 312 (mod 313).
2. Azt kell ellen®rizni, hogy a 2 milyen maradékosztályba eshet modulo m = 5, 7, 8 vagy 12, s eközben a-
nak mindenütt 0-tól m 1-ig választhatjuk a számokat. S®t, ha észrevesszük, hogy a 2 ( a) 2 (mod m),
akkor elegend® csak 0-tól [n=2]-ig választani az a értékeit. Így az adódik, hogy 5-tel osztva a négyzetszámok
lehetséges maradékai 0, 1 és 4; mod 7 a lehetséges maradékok 0, 1, 4, és 2; mod 8 a lehetséges maradékok 0,
1 és 4; végül mod 12 a lehetséges maradékok 0, 1, 4 és 9.
3. Jelölje m ezt a háromjegy¶ számot. Akkor a feltétel szerint m j 3137 2113 = 1024 = 2 10 , tehát m = 128; 256
vagy 512. Mivel 2113 65 (mod 1024), és 65 < 128, ezért mindhárom lehetséges modulusra 65 lesz a
maradék.
4. (a) 202x x 157 (mod 203), tehát x 46 (mod 203).
(b) A 309x 451 (mod 617) kongruenciát 2-vel szorozva az eredetivel ekvivalens x 618x 902 285
(mod 617) kongruenciát kapjuk.
(c) 5x 561 561 21968 = 3375 (mod 1968), és a modulushoz relatív pím 5-tel osztva a kongruenciát
azt kapjuk, hogy x 675 1293 (mod 1968).
(d) A 105x 741 (mod 809) kongruencia 3-mal való osztás után az ekvivalens 35x 247 (mod 809)
kongruenciával. Az el®z® feladathoz hasonló módon ezt tovább írhatjuk az alábbi alakba: 35x 247
247 + 2 849 = 1865 (mod 809), s itt ismét oszthatunk 5-tel: 7x 373 373 + 3 809 = 2800
|
