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Universit Paris Diderot UFR de mathmatiques
 

Summary: Université Paris Diderot
UFR de mathématiques
Licence de mathématiques
L3 ­ Logique et théorie des ensembles
Interrogation écrite no
2
Exercice 1. Soit X un ensemble.
1. Rappeler la définition d'une relation sur X.
2. Soit r une relation sur X. Donner des formules P(r), Q(r) et R(r) qui expriment respectivement
que r est une relation réflexive, transitive et anti-symétrique.
3. Montrer l'existence de l'ensemble des relations d'ordre partiel sur X à partir des axiomes de la
théorie des ensembles.
Exercice 2. Soit X un ensemble non vide muni d'un ordre partiel noté . Soit A et B deux parties
non vides de X telles que A B. On suppose que A et B admettent toutes deux des bornes supérieures.
1. Montrer que tout majorant de B est aussi un majorant de A.
2. En déduire que sup A sup B.
3. On suppose que A et B vérifient de plus la condition suivante :
x x B y (y A) (x y) .
Montrer que sup A = sup B. Indication : commencer par montrer que sup A est un majorant de B.
Exercice 3. On rappelle que si x et y sont deux ensembles quelconques, le couple (x, y) est défini par

  

Source: Abbes, Samy - Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes, Université Paris 7 - Denis Diderot

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences