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Summary: TU Wien WS 2006/07
Institut f˜ ur Analysis und Scientific Computing
Prof. Dr. A. Arnold
13. ˜
Ubungsblatt zur Vorlesung ``Partielle Di#erentialgleichungen''
(Eigenfunktionsentwicklungen, C 0 --Halbgruppen, Wellengleichung)
1. Aufgabe
Sei# = (0, #). L˜ osen Sie die Gleichung
u tt - u xx = 0 mit u(x, t = 0) # 1, u t (x, t = 0) # 0,
zu den inhomogenen Randbedingungen
u(x = 0, t) # 0, mit u(x = #, t) = # sin(t).
Hinweis/Vorgehensweise: Seien (# k , # k ) Eigenwerte und normierte Eigenfunktionen von -# 2
x
mit homogenen Randbedingungen. Suchen Sie eine '' brave`` Funktion u d (x, t), die die obigen
Randbedingungen erf˜ ullt. L˜ osen Sie dann die Gleichung f˜ ur v = u - u d mit einem Separations
ansatz v(x, t) =
# # k=1 a k (t)# k (x).
Sch˜ atzen Sie die L
2(#70 von u(., t) und u t (., t) ab. Was geschieht f˜ ur t # 0?
2. Aufgabe
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