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TU Wien WS 2006/07 Institut fur Analysis und Scientific Computing
 

Summary: TU Wien WS 2006/07
Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Prof. Dr. A. Arnold
12. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung "Partielle Differentialgleichungen"
(Eigenwertprobleme, Kompakte Operatoren, Fouriersynthese)
1. Aufgabe
Mittels Separation der Variablen l¨ose man das Eigenwertproblem
-u = u, u| = 0
auf dem Rechteck = (0, a) × (0, b), a, b > 0. Was kann man ¨uber die Vielfachheit der
Eigenwerte aussagen?
Stellen Sie f¨ur a = b = 1 die L¨osung von -u = 1, u| = 0 durch Linearkombination
der Eigenfunktionen dar.
2. Aufgabe
Betrachten Sie das Eigenwertproblem -u = u mit u| = 0 auf einem beschr¨ankten
Gebiet . Was l¨aßt sich aus dem Maximumprinzip ¨uber das Vorzeichen der Eigenwerte
folgern?
3. Aufgabe
Sei = (0, ) und Q = × (0, ). L¨osen Sie die Gleichung
ut - uxx = f, u| = 0, u|t=0 = u0,
wobei f(x, t) = sin t sin 2x und u0(x) = sin x + 1

  

Source: Arnold, Anton - Institut für Analysis und Scientific Computing, Technische Universität Wien

 

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