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TU Wien WS 2006/07 Institut fur Analysis und Scientific Computing
 

Summary: TU Wien WS 2006/07
Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Prof. Dr. A. Arnold
13. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung "Partielle Differentialgleichungen"
(Eigenfunktionsentwicklungen, C0­Halbgruppen, Wellengleichung)
1. Aufgabe
Sei = (0, ). L¨osen Sie die Gleichung
utt - uxx = 0 mit u(x, t = 0) 1, ut(x, t = 0) 0,
zu den inhomogenen Randbedingungen
u(x = 0, t) 0, mit u(x = , t) = sin(t).
Hinweis/Vorgehensweise: Seien (k, k) Eigenwerte und normierte Eigenfunktionen von -2
x
mit homogenen Randbedingungen. Suchen Sie eine
"
brave" Funktion ud(x, t), die die obigen
Randbedingungen erf¨ullt. L¨osen Sie dann die Gleichung f¨ur v = u - ud mit einem Separations-
ansatz v(x, t) =
k=1 ak(t)k(x).
Sch¨atzen Sie die L2
()­Norm von u(., t) und ut(., t) ab. Was geschieht f¨ur t 0?

  

Source: Arnold, Anton - Institut für Analysis und Scientific Computing, Technische Universität Wien

 

Collections: Mathematics