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Universite d'Orleans Faculte des Sciences
 

Summary: Universit´e d'Orl´eans
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Licence de Math´ematiques
SCL5MT01 ­ Analyse fonctionnelle
Automne 2006
Feuille 8 d'exercices
Espaces m´etriques compacts
1. (a) Montrer que l'intervalle ] 0, 1 [ n'est pas compact, en infirmant les diff´erentes
caract´erisations de la compacit´e.
(b) G´en´eraliser `a tout intervalle (non vide) ] a, b [.
2. L'ensemble des x R tels que (x2
+ 1) sin x
x ch x 1 est­il compact ?
3. Pour la distance discr`ete, montrer qu'un ensemble est compact si et seulement s'il est
fini.
4. Soient (X, d) un espace m´etrique, Y un sous­espace m´etrique ( i.e. une partie de X
munie de la distance induite ) et A une partie de Y . Par exemple X = R2
muni de la
distance d(x, y) = max { |x1 - y1| , |x2 - y2| } et Y = R identifi´e `a l'axe des abscisses.

  

Source: Anker, Jean-Philippe - Laboratoire de Mathématiques et Applications, Physique Mathématique, Université d'Orléans

 

Collections: Mathematics