Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Lin. alg. alk. (MAT elemz) 1. feladatsor: megoldsok 2011. februr 14-18. 1. Igazoljuk, hogy ha f 1 , f 2 , , f k # R[x] pronknt klnbz fok (nem nulla) polinomok,
 

Summary: Lin. alg. alk. (MAT elemz®) 1. feladatsor: megoldások 2011. február 14-18.
1. Igazoljuk, hogy ha f 1 , f 2 , · · · , f k # R[x] páronként különböz® fokú (nem nulla) polinomok,
akkor r(f 1 , f 2 , . . . , f k ) = k.
Megoldás. k-ra vonatkozó indukcióval bizonyítunk, hiszen k = 1-re nyilván igaz az állítás.
Föltehet®, hogy 0 # gr f 1 < gr f 2 < . . . < gr f k = n, és legyen f k = a n x n +· · ·+a 0 . Azt kell
megmutatnunk, hogy ha # 1 f 1 +· · ·+# k f k = 0, akkor # i = 0 minden i-re. Mivel a megadott
lineáris kombinációban a legmagasabb fokú el®forduló x-hatvány együtthatója # k a n , ebb®l
a n #= 0 miatt azt kapjuk, hogy # k = 0. Az indukciós hipotézis miatt f 1 , . . . , f k-1 lineárisan
független, s így # 1 = . . . = # k-1 = 0. Ezzel a megadott polinomok függetlenségét beláttuk.
2. Legyenek a 1 , a 2 , . . . , a k # R n tetsz®leges nem nulla vektorok, melyekre a T
i a j = 0 minden
i #= j-re. Mutassuk meg, hogy a 1 , a 2 , . . . , a k lineárisan függetlenek, így k # n.
Megoldás. Tegyük föl, hogy # 1 a 1 + · · · + # k a k = 0. Meg kell mutatnunk, hogy ekkor
minden # i = 0. Szorozzuk be az el®bbi egyenlet mindkét oldalát balról az a T
i vektorral
(tetsz®leges i-re). Ekkor az a T
i a j = 0 feltétel miatt a bal oldalon minden tag kiesik, egyedül
a # i a T
i a i tag marad meg, így # i a T
i a i = a T

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics