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Calcolo delle variazioni. --Functionals with p(x) growth and regularity. Nota di Emilio Acerbi e Giuseppe Mingione, presentata (*) dal Socio A.
 

Summary: Calcolo delle variazioni. -- Functionals with p(x) growth and regularity.
Nota di Emilio Acerbi e Giuseppe Mingione, presentata (*) dal Socio A.
Ambrosetti.
Abstract. -- We consider the integral functional f(x, Du) dx under non standard
growth assumptions of (p, q)-type: namely, we assume that |z|p(x) f(x, z) L(1 + |z|p(x)), a
relevant model case being the functional |Du|p(x) dx. Under sharp assumptions on the contin-
uous function p(x) > 1 we prove regularity of minimizers both in the scalar and in the vectorial
case, in which we allow for quasiconvex energy densities. Energies exhibiting this growth appear
in several models from mathematical physics.
Key words: Integral functionals; Minimizers; Nonstandard growth; Partial regularity.
Riassunto. -- Funzionali a crescita p(x) e regolarit`a. Consideriamo il funzionale integrale
f(x, Du) dx sotto ipotesi di crescita non standard di tipo (p, q): precisamente, supponiamo che
|z|p(x) f(x, z) L(1 + |z|p(x)), ottenendo un funzionale il cui modello `e |Du|p(x) dx. In
ipotesi ottimali sulla funzione continua p(x) > 1, dimostriamo la regolarit`a dei minimi sia nel
caso scalare che vettoriale, nel quale copriamo anche il caso di densit`a di energia quasiconvesse.
Energie con crescite come quelle considerate compaiono in diversi modelli della fisica matematica.
In the last decades great attention was paid to the study of regularity and
existence properties of local minimizers of integral functionals of the calculus of
variations of the type
(1) F(u, ) :=

  

Source: Acerbi, Emilio - Dipartimento di Matematica, UniversitÓ degli Studi di Parma

 

Collections: Mathematics