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Instituto Superior Tecnico Departamento de Matematica
 

Summary: Instituto Superior T’ecnico
Departamento de Matem’atica
Sec›c”ao de ’
Algebra e An’alise
GEOMETRIA DIFERENCIAL ­ Ficha 2
LMAC/MMA ­ 1 o Semestre 2001/02
VARIEDADES E CAMPOS VECTORIAIS Data de entrega: 18 de Outubro
1. Seja M uma variedade diferenci’avel e f : M # R uma fun›c”ao de classe C # com um
ponto cr’tico em p # M .
(a) Sejam X e Y dois campos vectoriais definidos numa vizinhan›ca de p. Mostre que
X(Y f)(p) = Y (Xf)(p).
(b) Considere a aplica›c”ao H f : T p M×T p (M) # R definida por H f (X, Y ) = X(Y f)(p),
onde X e Y s”ao extens”oes de X,Y # T p M a uma vizinhan›ca de p. Mostre que
H f ’e uma forma bilinear sim’etrica em T p M bem definida pela express”ao anterior
(i.e. independente das extens”oes X e Y escolhidas para X,Y # T p M ).
H f ’e a chamada Hessiana de f no ponto cr’tico p.
(c) Seja U # M uma vizinhan›ca de p e x : U # R m um sistema de coordenadas
centrado em p (i.e. com x(p) = 0). Mostre que, na base de T p M induzida pelas
coordenadas x, a matriz que representa H f ’e
" # 2 f

  

Source: Abreu, Miguel - Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa

 

Collections: Mathematics