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Dimostrazione del teorema di esistenza e unicit`a Teorema 1 Sia RN+1 un insieme aperto e sia f : RN . Consideriamo il problema di
 

Summary: Dimostrazione del teorema di esistenza e unicit`a
Teorema 1 Sia RN+1 un insieme aperto e sia f : RN . Consideriamo il problema di
Cauchy
y (t) = f(t, y(t))
y() = .
(1)
Se
i) f `e continua in
ii) f `e localmente lipschitziana in , rispetto a y e uniformemente rispetto a t
allora, per ogni punto (, ) , esiste un intervallo I = [ - , + ], > 0, in cui `e definita
una soluzione (t) del problema di Cauchy (1). Tale soluzione `e unica, nel senso che ogni altra
soluzione del problema di Cauchy (1) coincide con nell'intervallo comune di definizione.
Dimostrazione. Dimostriamo l'esistenza della soluzione.
1. Sappiamo che, nelle ipotesi del teorema, `e soluzione del problema di Cauchy (1)
sull'intervallo I se e solo se `e continua nell'intervallo I e soddisfa l'equazione integrale
(t) = +
t

f(s, (s)) ds, t I . (2)
Dimostreremo che, scegliendo > 0 in modo opportuno, l'equazione (2) ammette una soluzione

  

Source: Amadori, Debora - Dipartimento di Matematica Pura e Applicata, UniversitÓ dell'Aquila

 

Collections: Mathematics