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Universit Paris Diderot UFR de mathmatiques
 

Summary: Université Paris Diderot
UFR de mathématiques
Licence de mathématiques
L3 ­ Logique et théorie des ensembles
Devoir no
3
À rendre le 30 mars 2011
Rappel : Si (X, ) et (Y, ) sont deux ensembles partiellement ordonnés, on dit qu'ils sont isomorphes
s'il existe une bijection f : X Y croissante et dont la bijection réciproque est croissante.
Problème
On considère un ensemble partiellement ordonné (X, ) qui est dénombrable, et dont l'ordre partiel est
total. On considère une énumération (x0, x1, . . . ) de X.
1. Préliminaires sur les ordres totaux. (a) Rappeler la définition d'un ordre total. (b) Montrer que
si h : X Y est une bijection croissante entre deux ordres partiels, et si (X, ) est un ordre total,
alors la bijection réciproque de h est croissante. (c) Montrer que si (X, ) est un ordre total, alors
toute fonction f : X Y strictement croissante est injective.
2. Soit y0, y1, . . . une énumération de Q. On considère la fonction f : X Q construite ainsi :
f(x0) = y0 , et si f(x0), . . . , f(xn-1) ont déjà été construits, avec n 1, alors les points x0, . . . , xn-1
partagent X en n + 1 intervalles dont deux sont de la forme Au = {x X | x < u} pour u X et
Bv = {x X | x > v} pour v X, et n - 1 sont de la forme

  

Source: Abbes, Samy - Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes, Université Paris 7 - Denis Diderot

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences