Summary: Universit´e d'Orl´eans
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Licence de Math´ematiques
SCL5MT01 ­ Analyse fonctionnelle
Le 11 janvier 2006
Examen ´ecrit
Lieu : Amphi 1
Dur´ee : 4 heures (8h­12h)
Aucune documentation autoris´ee, ni aucun appareil ´electronique.
La qualit´e de l'argumentation et de la r´edaction seront prises en compte.
Topologie
1. Soient (E, . ) un espace vectoriel norm´e de dimension finie et F un sous­espace
vectoriel de E .
(a) Montrer que F est ferm´e.
(b) Rappelons que la distance d'un point xE `a F est d´efinie par
d(x, F) = inf { x - | F } .
Montrer que cette distance est atteinte en un point de F :
xE, 0 F tel que d(x, F) = x - 0 .
(c) Donner un exemple o`u il n'y a pas unicit´e du point 0 .

Source: Anker, Jean-Philippe - Laboratoire de Mathématiques et Applications, Physique Mathématique, Université d'Orléans

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