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Universit Paris Diderot UFR de mathmatiques
 

Summary: Université Paris Diderot
UFR de mathématiques
Licence de mathématiques
L3 ­ Logique et théorie des ensembles
Devoir no
4
À rendre le 27 avril 2011
1 Groupes abéliens ordonnés
On dit qu'un groupe abélien (G, +, 0) est ordonné si G est muni d'un ordre partiel compatible avec la
loi de groupe, c'est-à-dire :
x, y, z G, x y x + z y + z.
Les éléments x G tels que 0 x (resp., x 0) sont appelés positifs (resp., négatifs), et leur ensemble
est noté G+ (resp., G-). Un morphisme entre groupes abéliens ordonnés est un morphisme de groupes
qui est aussi une application croissante.
Exercice 1 (propriétés élémentaires).
1. Soit G un groupe abélien ordonné. Montrer que les propriétés suivantes sont satisfaites :
(a) G- = -G+ .
(b) G+ + G+ G+.
(c) G+ G- = {0}.
2. Réciproquement, soit P une partie d'un groupe abélien G, vérifiant P + P P et P (-P) = {0}.

  

Source: Abbes, Samy - Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes, Université Paris 7 - Denis Diderot

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences