Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Mat. BSC: Algebra 2 1. ZH: megoldsok 2008. prilis 1. 1. Megolds: A mtrix pontosan akkor invertlhat, ha a determinnsa nem 0 (2 pont). A mtrix
 

Summary: Mat. BSC: Algebra 2 1. ZH: megoldások 2008. április 1.
1. Megoldás: A mátrix pontosan akkor invertálható, ha a determinánsa nem 0 (2 pont). A mátrix
determinánsát pl. az els® oszlop szerinti kifejtéssel vagy kombinált módszerrel kiszámolva azt kapjuk,
hogy det A = 2(# - 1)(# - 4) (3 pont ), tehát A pontosan akkor invertálható, ha # ## {1, 4} (1 pont ).
2. Megoldás: Vonjuk ki az els® sor 4-szeresét a másodikból (2 pont ), majd az új második sor 4-szeresét a
harmadikból stb., majd az utolsó el®tti sor 4-szeresét az utolsóból (2 pont). Egy háromszögmátrixot
kapunk, melynek f®átlójában csupa 1-es áll (1 pont ). A keresett determináns értéke tehát 1 (1 pont).
 Második megoldás: Jelölje D n a keresett n × n-es determináns értékét. Az utolsó sor szerint
kifejtve, majd az így kapott egyik mátrixot az utolsó oszlop szerint kifejtve azt kapjuk, hogy D n =
9 · D n-1 - 4 · 2 · D n-2 (4 pont). Mivel D 1 = D 2 = 1 (1 pont), ezért a rekurzió alapján D n = 1 minden
n-re (1 pont).
3. Megoldás: a) A megadott halmaz nyilván nem üres, mivel tartalmazza a 0 = (0, . . . , 0) vektort.
Ha a = (a 1 , . . . , a 6 ), b = (b 1 , . . . , b 6 ) # H 1 , akkor a + b = (a 1 + b 1 , . . . , a 6 + b 6 ) # H 1 , mert a zá-
rójelek fölbontásával és a tagok átrendezésével könnyen bizonyíthatjuk az (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) =
(a 3 + b 3 ) + (a 4 + b 4 ) = (a 5 + b 5 ) + (a 6 + b 6 ) = 0 egyenl®ségek teljesülését. Hasonlóan, tetsz®leges
c # R valós számra teljesül, hogy ca # H 1 , hiszen ca 1 + ca 2 = ca 3 + ca 4 = ca 5 + ca 6 = 0. Eb-
b®l következik, hogy H 1 altér (2 pont). (Megjegyzés: H 1 altér voltát igazolhattuk volna az alábbi
módon is. Legyen A = # #
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics