Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Lin. alg. alk. (MAT elemz) 7. feladatsor: megoldsok 2011. prilis 12-15. 1. Igazoljuk egy euklideszi tren rtelmezett lineris transzformci adjungltjnak kpzsre az
 

Summary: Lin. alg. alk. (MAT elemz®) 7. feladatsor: megoldások 2011. április 12-15.
1. Igazoljuk egy euklideszi téren értelmezett lineáris transzformáció adjungáltjának képzésére az
alábbi tulajdonságokat:
(# + #) # = # # + # # ; (##) # = •
## # ; (##) # = # # # # ; I # = I; (# -1 ) # = (# # ) -1 .
Megoldás. Mindegyik összefüggés igazolható pl. oly módon, hogy egy ONB-ben fölírt mát-
rixokra írjuk föl a megfelel® azonosságot. De a deníció közvetlen fölhasználása is eredményre
vezet. Pl. ((# # + # # )u, v) = (# # u, v) + (# # u, v) = (u, #v) + (u, #v) = (u, (# + #)v), így az
adjungált egyértelm¶sége miatt (# # + # # )  jó lesz (# + #) # -nak.
2. Mi lesz a síkon egy origón átmen® egyenesre való tükrözés adjungáltja?
Megoldás. Ha a türözés mátrixát abban a bázisban írjuk föl, melynek els® eleme a tükrö-
zési tengely irányába es® (egyik) egységvektor, a másik bázisvektor pedig az erre mer®leges
(egyik) egysévektor, akkor a # 1 0
0 -1
# mátrixot kapjuk. Ez valós szimmetrikus mátrix, így
az adjungált mátrixa megegyezik a tükrözés mátrixával. Ez azt jelenti, hogy a tükrözés ad-
jungáltja önmaga.  Másik megoldás. A tükrözés távolságtartó lineáris transzfromáció, tehát
unitér, így adjungáltja az inverze. Másfel®l a tükrözés négyzete önmaga, így önmagának in-
verze, tehát a tükrözés megegyezik az adjungáltjával.  Harmadik megoldás. Megmutatható
közvetlenül is, hogy a tükrözés önmagának az adjungáltja. Ha ugyanis #-vel jelöljük a tükrö-

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics