Summary: '
Equivalences de cat'egories et types (d'apr`es Alan Roche et David Goldberg)
Anne­Marie Aubert
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Ecole Normale Sup'erieure
``Types dans les groupes r'eductifs p--adiques et leurs alg`ebres de Hecke'' (Luminy 25--29 septembre 2000)
x1. G' en' eralit' es
x1.1. Rappels de th'eorie des anneaux.
Tous les anneaux consid'er'es seront suppos'es poss'eder une unit'e, pr'eserv'ee, par d'efinition, par tout
homomorphisme d'anneaux.
D'efinition 1.1. On dit qu'un anneau A:
ffl poss`ede un nombre de base invariant si A m ' A n , en tant que A--modules `a droite, avec m et n
des entiers strictement positifs, implique m = n;
ffl est Dedekind­fini si aa 0 = 1 pour a, a 0 dans A, implique a 0 a = 1.
Remarque. Les anneaux commutatifs sont trivialement Dedekind­finis. Il est facile de voir qu'ils poss`edent
aussi un nombre de base invariant (en effet, si A est un anneau commutatif et si m est un id'eal maximal
de A, alors A m ' A n , en tant que A--modules `a droite, implique A
m\Omega m A ' A
n\Omega m A, en tant qu'espaces
vectoriels sur A=m, d'o`u l''egalit'e m = n).

Source: Aubert, Anne-Marie - Institut de Mathématiques de Jussieu

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