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Tas d'oranges, cristaux et empilements de sph`eres
 

Summary: Tas d'oranges, cristaux et
empilements de sph`eres
Denis Auroux (CNRS - Ecole Polytechnique)
18 septembre 2000
Comment empiler efficacement des oranges (ou tout autre fruit sph´erique) de fa¸con `a
obtenir un tas occupant aussi peu de volume que possible ? Est-il pr´ef´erable d'empiler des
couches o`u les fruits sont dispos´es en carr´es, ou une disposition en triangles est-elle plus
efficace ? Ce probl`eme, en apparence anodin, mais dont le champ d'application s'´etend
de l'´etude des cristaux `a la th´eorie des codages informatiques, aura donn´e du mal aux
math´ematiciens pendant pr`es de quatre si`ecles : d`es 1610, Kepler formulait une conjecture
sur la question, mais il aura fallu attendre 1998 pour que les travaux de Thomas Hales
en apportent la preuve de fa¸con rigoureuse.
La densit´e d'un empilement de sph`eres
Le probl`eme d'empilement peut ^etre formul´e math´ematiquement de la fa¸con suivante :
Quelle est la densit´e maximale d'un empilement de sph`eres pleines, toutes identiques,
dans l'espace euclidien de dimension 3 ?
On d´efinit la densit´e d'un empilement en consid´erant un cube dont le c^ot´e tend vers
l'infini : c'est la proportion du volume `a l'int´erieur du cube occup´ee par les sph`eres. Plus
pr´ecis´ement, la densit´e est la limite (sup´erieure) de cette proportion lorsque la taille du
cube tend vers l'infini.

  

Source: Auroux, Denis - Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology (MIT)

 

Collections: Mathematics