Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Lin. alg. alk. (MAT elemz) 4. feladatsor: megoldsok 2011. mrcius 8-11. 1. (Pitagorasz-ttel.) Igazoljuk, hogy ha az x, y # C n vektorok merlegesek egymsra, akkor
 

Summary: Lin. alg. alk. (MAT elemz®) 4. feladatsor: megoldások 2011. március 8-11.
1. (Pitagorasz-tétel.) Igazoljuk, hogy ha az x, y # C n vektorok mer®legesek egymásra, akkor
|x + y| 2 = |x| 2 + |y| 2 .
Megoldás. A mer®legességi feltétel azt jelenti, hogy a x · y skaláris szorzat értéke 0 (és így
az y · x szorzaté is). Ezt kihasználva:
|x + y| 2 = (x + y) · (x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y = |x| 2 + |y| 2 .
2. Legyen A # C k×n , és legyen r(A) = r az A rangja. Bizonyítsuk be, hogy tetsz®leges r # t #
min {k, n} értékre van A-nak t rangú általánosított inverze.
Megoldás. Tudjuk, hogy az A általánosított inverzei mind P # I r U
V W
# S alakban kapha-
tók, ahol a középs® blokkmátrixban I r az r × r-es egységmátrix, U, V és W pedig tetsz®leges
(méretben odaill®) blokkok, S és P pedig invertálható mátrixok. Mivel invertálható mátrix-
szal való szorzás nem változtatja meg a mátrix rangját (lásd pl. az 1/4.b feladatot), ezért
a kapott általánosított inverz rangja megegyezik a föntebbi blokkmátrix rangjával. Ez a
rang legalább r, hiszen a bal föls® I r -es blokk sorai (vagy oszlopai) lineárisan függetlenek,
ugyanakkor tetszés szerint meg is növelhet® bármely t # min {k, n}-ig, ha az I r -es blokkot
megnöveljük (a W megfelel® választásával) egy I t -s blokká, a mátrix többi elemét pedig 0-nak
választjuk. Így az általánosított inverz rangja tetsz®leges r # t # min {k, n} lehet.
3. Hány általánosított inverze van egy A # F 3×5

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics