| | |
Summary: Universit´e d'Orl´eans
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Licence de Math´ematiques
SCL5MT01 Analyse fonctionnelle
Automne 2006
Feuille 10 d'exercices
Espaces de Banach et de Hilbert, applications lin´eaires continues
1. (a) Dans un espace de Banach, montrer que la convergence absolue implique la
convergence des s´eries.
(b) R´eciproquement, montrer qu'un espace norm´e E est complet si toute s´erie absolu-
ment convergente converge dans E .
Indication : Etant donn´e une suite de Cauchy (xn) dans E , on consid`ere une soussuite
yj = xnj
telle que yj - yk 2- min{j,k}
, puis la s´erie y0 +
+
j=0 ( yj+1 - yj ) .
2. On d´esigne par c0 l'ensemble des suites (xn) dans C qui tendent vers 0 . Montrer
que c0 est un espace de Banach pour la norme x = supnN |xn|
|
