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LAPLACIENS EN INTERACTION Colette ANN '
 

Summary: LAPLACIENS EN INTERACTION
Colette ANN '
E*
Introduction
Ce travail est consacr'e `a l''etude de l'asymptotique des fonctions propres du Laplacien
dans la situation d'un 'ecrasement d'anse : la vari'et'e M '' est obtenue par recollement sur la
vari'et'e riemannienne compacte X 1 de dimension n de l'anse X 2 ('') constitu'ee par le bord
du tube de rayon '' autour de la vari'et'e riemannienne `a bord X 2 . On suppose le bord Y de
X 2 isom'etrique `a une sous­vari'et'e de X 1 de codimension d et d – 2 ; le recollement se fait
alors sur le bord de la vari'et'e X 1 ('') obtenue en excisant sur X 1 le ''­voisinage tubulaire
de Y ae X 1 (cette construction sera explicit'ee par la suite). On a d'ej`a vu ([A1]) que le
spectre du Laplacien sur M '' converge, quand '' tend vers 0, vers l'union des spectres du
Laplacien \Delta 1 de X 1 et du Laplacien \Delta 2 avec conditions de Dirichlet au bord de X 2 :
Que deviennent les fonctions propres? Si il est naturel que pour une valeur propre – ''
de M '' telle que – = lim ''!0 – '' n'appartienne qu'`a l'un des deux spectres limites, l'espace
propre relatif `a – donne une bonne approximation de l'espace propre de – '' ; lorsque
– appartient aux deux spectres limites il peut y avoir une interaction ( ph'enom`ene de
r'esonnance entre les deux parties de M '' ). Dans ce cas, si f– est une fonction propre
norm'ee de – sur X 1 et h– sur X 2 ; ni f– ni h– ne sont de bonnes approximations d'une
fonction propre pour – '' mais il faut prendre une combinaison lin'eaire des deux, et donc

  

Source: Anné, Colette - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray,

 

Collections: Mathematics