Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
MAT: Lin. alg. alk. (elemz) 1. feladatsor 2011. februr 14-18. Fggetlensg, dimenzi, rang, halmazrendszerek
 

Summary: MAT: Lin. alg. alk. (elemz®) 1. feladatsor 2011. február 14-18.
Függetlenség, dimenzió, rang, halmazrendszerek
1. Igazoljuk, hogy ha f 1 , f 2 , · · · , f k # R[x] páronként különböz® fokú (nem nulla) polinomok,
akkor r(f 1 , f 2 , . . . , f k ) = k.
2. Legyenek a 1 , a 2 , . . . , a k # R n tetsz®leges nem nulla vektorok, melyekre a T
i a j = 0 minden
i #= j-re. Mutassuk meg, hogy a 1 , a 2 , . . . , a k lineárisan függetlenek, így k # n.
3. a) Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus mátrixok egy S alteret alkotnak az n×n-es valós
mátrixok vektorterében, és határozzuk meg ennek az altérnek a dimenzióját.
b) Csináljuk meg az el®z® feladatot szimmetrikus helyett antiszimmetrikus mátrixokkal.
(Egy M mátrix akkor antiszimmetrikus, ha M T = -M .)
c) Igazoljuk, hogy minden n×n-es valós mátrix egyértelm¶en írható föl egy szimmetrikus
és egy antiszimmetrikus mátrix összegeként.
4. a) Legyenek A, B # R k×n mátrixok. Igazoljuk, hogy r(A +B) # |r(A) - r(B)|.
b) Tegyük föl, hogy M # R n×n invertálható mátrix, továbbá A # R k×n és B # R n×k .
Mutassuk meg, hogy r(AM) = r(A) és r(MB) = r(B).
5. Legyen M # R k×n tetsz®leges mátrix, és jelöljük Ker M-mel az {x # R n
| Mx = 0} hal-
mazt, illetve ImM-mel az Mx alakú vektorok halmazát.
a) Mutassuk meg, hogy Ker MM T = Ker M T .

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics