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Ecole des Ponts ParisTech -Universit Marne-La-Valle 2010-2011 Machine Learning et Applications
 

Summary: 1
Ecole des Ponts ParisTech - Université Marne-La-Vallée 2010-2011
Machine Learning et Applications
Feuille d'exercices concentration et complexité. Corrigé.
Exercice 1 (Le problème de l'acquisition de coupons.)
On dispose d'une urne contenant n coupons différents. A chaque tirage, on choisit au hasard
un coupon qui est ensuite replacé dans l'urne. On se demande combien de tirages doivent
être effectués pour être à peu près sûr d'avoir tiré chacun des coupons au moins une fois.
La réponse est un O(n log n).
On rappelle que la loi géométrique de paramètre 0 < < 1 est la loi du nombre N
du premier succés dans une suite de bernoulli indépendantes de paramètre . On peut la
définir par
N = min(n : n = 1)
où (n)n est une suite de Bernoulli indépendantes de paramètre .
1) Déterminer la loi, l'espèrance, la variance et la déviation de N
Soit i {1, . . . , n}. On suppose qu'on vient juste d'oberver i - 1 coupons différents.
On se demande alors combien de tirages vont être nécéssaires pour observer un nouveau
coupon. On note par Ti le premier instant où on observe un i-ème coupon différent des
i - 1 précédement observés.
2) Quelle est la loi de Ti ? Quelle est la moyenne de T1 et Tn ? (Interpréter).

  

Source: Audibert, Jean-Yves - Département d'Informatique, École Normale Supérieure

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences