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Universit Paris Diderot UFR de mathmatiques
 

Summary: Université Paris Diderot
UFR de mathématiques
Licence de mathématiques
L3 ­ Logique et théorie des ensembles
Interrogation écrite no
2
Correction
Exercice 1.
1. Une relation sur X est définie comme une partie de X × X. C'est donc une élément de P(X × X).
2. Soit r P(X × X). En se reportant aux définitions on trouve :
P(r) = « x x X (x, x) r »
Q(r) = « xyz (x X y X z X (x, y) r (y, z) r) (x, z) r »
R(r) = « xy (x, y) r (y, x) r x = y ».
3. D'après l'axiome de compréhension, on peut construire l'ensemble suivant :
RX = {r P(X × X) | P(r) Q(r) R(r)}.
L'ensemble RX a comme éléments exactement les relations sur X qui sont réflexives, transitives et
anti-symétriques. C'est donc l'ensemble des relations d'ordre partiel sur X.
Exercice 2.
1. Soit M un majorant de B. Soit x A--un tel élément existe puisque A est supposée non vide.
Alors x B puisque A B. Donc x M. Ceci étant vrai quel que soit x A, il s'ensuit que M

  

Source: Abbes, Samy - Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes, Université Paris 7 - Denis Diderot

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences