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Seminaire BOURBAKI Mars 2009 61`eme annee, 2008-2009, no 1002
 

Summary: SŽeminaire BOURBAKI Mars 2009
61`eme annŽee, 2008-2009, no 1002
LA CONJECTURE DE WEINSTEIN EN DIMENSION 3
[d'apr`es C. H. Taubes]
par Denis AUROUX
Etant donnŽee une variŽetŽe fermŽee munie d'une forme de contact a, la conjecture de
Weinstein [22] affirme l'existence d'orbites pŽeriodiques du champ de Reeb (le champ
de vecteurs qui engendre le noyau de da). Cette conjecture a ŽetŽe prouvŽee fin 2006 par
C. H. Taubes [18] pour toute variŽetŽe de contact de dimension 3. Le prŽesent exposŽe
dŽecrit le rŽesultat de Taubes et les principaux ingrŽedients de la preuve, en particulier les
Žequations de Seiberg-Witten en dimension 3.
1. LA CONJECTURE DE WEINSTEIN
Soit M une variŽetŽe compacte orientŽee de dimension 2n + 1, ŽequipŽee d'une forme de
contact a, c'est-`a-dire une 1-forme telle que a (da)n
est une forme volume compatible
avec l'orientation de M. Le champ d'hyperplans = Ker(a) dŽefinit alors une structure
de contact sur M.
La 2-forme da est de rang 2n, et son noyau dŽefinit une famille de droites dans le fibrŽe
tangent TM, transverses aux hyperplans de contact ; le champ de Reeb est le champ
de vecteurs v qui engendre ces droites, normalisŽe par la condition a(v) = 1.

  

Source: Auroux, Denis - Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology (MIT)

 

Collections: Mathematics