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Technische Universit at Wien SS 2007 Institut f ur Analysis u. Scientific Coumputing
 

Summary: Technische Universit˜ at Wien SS 2007
Institut f˜ ur Analysis u. Scientific Coumputing
Prof. Dr. A. Arnold / Dr. R. Bosi
3. ˜
Ubungsblatt zur VL ``Nichtlineare partielle Di#erentialgleichungen''
(Obere/untere Schranken, Existenz schwacher L˜ osungen, Fixpunktsatz von Banach)
1. Aufgabe
Sei a : R # R eine stetige Funktion so dass a(f n ) # a(f) schwach in L 2 (0, 1) wenn
f n # f schwach in L 2 (0, 1).
Zeigen Sie, dass a eine a#ne Funktion ist, d.h. a(z) = #z + #, f˜ ur alle z # R und #, #
konstant.
Hinweis: (ad absurdum) sei a(su + (1 - s)v) #= sa(u) + (1 - s)a(v) f˜ ur welchen s, u, v, mit
s, u, v, (su + (1 - s)v) # (0, 1), und finden Sie einen Widerspruch mit
f n (z) = # u , z # [j/n, (j + s)/n], j = 0, ..., n - 1
v , sonst
.
und einfachen Testfunktionen.
2. Aufgabe
Sei# # R n ein beschr˜ anktes Gebiet mit glattem Rand, und f #
C(# ). Finden Sie

  

Source: Arnold, Anton - Institut für Analysis und Scientific Computing, Technische Universität Wien

 

Collections: Mathematics