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BORNES SUR LA MULTIPLICIT ' Colette ANN '
 

Summary: BORNES SUR LA MULTIPLICIT '
E
Colette ANN '
E
En dimension 2, `a l'inverse des dimensions plus grandes, la multiplicit'e d'une valeur propre d'un
op'erateur de Schr¨odinger est born'ee par la topologie de la surface. La meilleure borne connue `a ce
jour est due `a Nadirashvili, elle n'est en g'en'eral pas optimale. Ce r'esultat n'ecessite l'utilisation de
th'eor`emes importants de l'analyse comme le th'eor`eme de Courant,et aussi le th'eor`eme de Cheng
que l'on peut consid'erer comme un th'eor`eme sur la ``d'etermination finie'' ; ce th'eor`eme qui devrait
permettre d''etudier les lieux d'annulation d'une fonction propre n'est v'eritablement efficace qu'en
dimension deux. On a aussi besoin d'un r'esultat topologique concernant un graphe plong'e dans
une surface, il s''enonce simplement avec la proposition II.
J'esp`ere par ce texte inciter des gens `a chercher ''la meilleure borne'' ; rappelons que Colin de
Verdi`ere a conjectur'e qu'elle devrait “etre de l'ordre de la racine carr'ee du genre de la surface.
Enfin les ensembles nodaux d'une fonction propre restent assez mal connus en dimension plus
grande que trois, le seul r'esultat r'ecent est celui de Donnelly et Fefferman [D.F] qui majore l'ordre
d'annulation en un point d'une fonction propre par la racine carr'ee de sa valeur propre.
1 Le r'esultat
M est une surface connexe compacte. Chaque m'etrique g sur M et chaque fonction V de classe C 1
sur M d'efinissent dans l'espace de Hilbert L 2 (M; IR) un op'erateur de Schr¨odinger H = \Delta +V si \Delta

  

Source: Anné, Colette - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray,

 

Collections: Mathematics