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Summary: L˜ osungsvorschlag Termersetzungssysteme -- Blatt 8
Aufgabe 1
a) Die Relation ## T (#, V)×T (#, V) sei stabil, monoton, transitiv und habe die Teiltermei
genschaft. Zu zeigen ist, dass f˜ ur alle s, t # T (#, V) gilt:
s # emb t # s # t
Sei s # emb t. Wir zeigen s # t durch strukturelle Induktion ˜ uber s:
1) Sei s = f(s 1 , . . . , s n ) und s i # emb t f˜ ur ein i # {1, . . . , n}. Dann gilt nach In
duktionsvoraussetzung s i # t. Da # die Teiltermeigenschaft hat, gilt f˜ ur Variablen
x 1 , . . . , x n # V, dass f(x 1 , . . . , x n ) # x i , und wegen der Stabilit˜ at von # erhalten wir
f˜ ur die Substitution # = {x 1 /s 1 , . . . , x n /s n }, dass s = f(x 1 , . . . , x n )# # x i # = s i .
Insgesamt gilt s # s i # t und mit der Transitivit˜ at von # auch s # t.
2) Sei s = f(s 1 , . . . , s n ), t = f(t 1 , . . . , t n ), s i # emb t i f˜ ur ein i # {1, . . . , n} und s j # emb t j
f˜ ur alle j #= i. Nach Induktionsvoraussetzung gelten s i # t i und s j # t j f˜ ur alle j #= i.
Mit der Monotonie von # erhalten wir
s
= f(s 1 , . . . , s n )
# f(t 1 , s 2 , . . . , s n )
. . .
# f(t 1 , . . . , t i-1 , s i , . . . , s n )
# f(t 1 , . . . , t i-1 , t i , s i+1 , . . . , s n )
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