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Instituto Superior Tecnico Departamento de Matematica
 

Summary: Instituto Superior T´ecnico
Departamento de Matem´atica
Sec¸c~ao de ´Algebra e An´alise
GEOMETRIA DIFERENCIAL - Ficha 2
LMAC/MMA - 1o
Semestre 2001/02
VARIEDADES E CAMPOS VECTORIAIS Data de entrega: 18 de Outubro
1. Seja M uma variedade diferenci´avel e f : M R uma fun¸c~ao de classe C
com um
ponto cr´itico em p M.
(a) Sejam X e Y dois campos vectoriais definidos numa vizinhan¸ca de p. Mostre que
X(Y f)(p) = Y (Xf)(p).
(b) Considere a aplica¸c~ao Hf : TpM×Tp(M) R definida por Hf (X, Y ) = X(Y f)(p),
onde X e Y s~ao extens~oes de X, Y TpM a uma vizinhan¸ca de p. Mostre que
Hf ´e uma forma bilinear sim´etrica em TpM bem definida pela express~ao anterior
(i.e. independente das extens~oes X e Y escolhidas para X, Y TpM).
Hf ´e a chamada Hessiana de f no ponto cr´itico p.
(c) Seja U M uma vizinhan¸ca de p e x : U Rm
um sistema de coordenadas
centrado em p (i.e. com x(p) = 0). Mostre que, na base de TpM induzida pelas

  

Source: Abreu, Miguel - Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa

 

Collections: Mathematics