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Spectre du Laplacien agissant sur les pformes diff'erentielles et 'ecrasement d'anses
 

Summary: Spectre du Laplacien agissant sur les p­formes
diff'erentielles et 'ecrasement d'anses
par Colette Ann'e et Bruno Colbois
R'esum'e. --- L'objet de cet article est d''etudier le comportement
du spectre du Laplacien agissant sur les p­formes diff'erentielles d'une vari'et'e
riemannienne orientable compacte, perturb'ee par l'adjonction d'une anse
cylindrique dont le rayon tend vers 0.
Introduction
L''etude du spectre du Laplacien agissant sur les fonctions d'une vari'et'e riemannienne
compacte, et particuli`erement l'in'egalit'e de Cheeger [C] montrent qu'`a diam`etre born'e, une
vari'et'e dont la premi`ere valeur propre non nulle est tr`es petite tend `a se ``d'econnecter'' ;
en gros on peut dire qu'elle ressemble `a un halt`ere (figure 1.2). On sait qu'il n'en va pas de
m“eme pour les formes diff'erentielles [CC] o`u, m“eme `a courbure et diam`etre born'es, on peut
avoir des valeurs propres arbitrairement petites. Par contre, peu de choses sont connues
concernant le cas du spectre des p­formes diff'erentielles dans la situation 'evoqu'ee plus haut
d'un halt`ere, c'est­`a­dire lorsque qu'une partie de la vari'et'e s''ecrase [D] (voir cependant les
r'esultats de R. Forman [F] pour un 'ecrasement global). C'est ce comportement que nous
allons 'etudier dans cet article, avec l'id'ee de g'en'eraliser les m'ethodes d'evelopp'ees par le
premier auteur dans le cas des fonctions [A 1].
Soit (M; g) une vari'et'e riemannienne compacte, orient'ee de dimension n – 3. Soient

  

Source: Anné, Colette - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray,

 

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