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Summary: TU Wien WS 2006/07
Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Prof. Dr. A. Arnold
11. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung "Partielle Differentialgleichungen"
(Maximumprinzip f¨ur parabolische Operatoren, Fouriersynthese)
1. Aufgabe
Seien T > 0, Rn
ein beschr¨anktes Gebiet, f C1
(R) eine monoton fallende Funktion
und u0 C() mit u0| = 0. Zeigen Sie, dass die nichtlineare Gleichung
ut = u + f(u) in G := × (0, T),
u(x, t) = 0, (x, t) × (0, T),
u(x, t = 0) = u0(x), x ,
h¨ochstens eine L¨osung u C( ¯G) C2
(G) hat.
Hinweis: Mittelwertsatz der Differentialrechnung, parabolisches Maximumprinzip
2. Aufgabe
F¨ur die eindeutige L¨osung von
ut = uxx - a(x)u auf (0, 1) × (0, ),
u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0,
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