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Prof. Ricardo Gmez Aza Universidad Nacional
 

Summary: Prof. Ricardo Gómez Aíza
Universidad Nacional
Autónoma de México
Ayud. Rosa Georgina Rodríguez Mota
Variable Compleja II
TAREA V
1. Sean 1 y 2 dos regiones simplemente conexas contenidas propiamente en C. Sea
f H(1) una funci´on anal´itica inyectiva que mapea 1 sobre 2. Sea a 1 y sea
= f(a). Demuestre que cualquier funci´on anal´itica inyectiva h: 1 2 tal que
h(a) = satisface |h (a)| |f (a)|. Explique qu´e ocurre si h no necesariamente es
inyectiva.
2. Sea C una regi´on propia de los n´umeros complejos tal que z si z . Sea
a R y suponga que f: D = {z : |z| < 1} es anal´itica, inyectiva y f(a) = 0,
f (a) > 0 y f() = D. Sea + = {z : Imz > 0}. Demuestre que
f(+) {z C : Im z > 0} ´o f(+) {z C : Im z < 0}.
3. Use mapeos conformes conocidos o composici´on de ellos, como transformaciones lineales
fraccionales, potencias, raices, senz, log z, etc., para encontrar una funci´on anal´itica
biyectiva entre la regi´on dada A y el semiplano superior U = {z C : Im z > 0}:
(a) A = {z = x + iy : x, y > 0}.
(b) A = {z = x + iy : |y - 1| < 2}.

  

Source: Aíza, Ricardo Gómez - Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México

 

Collections: Mathematics