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Universit Paris Diderot UFR de mathmatiques
 

Summary: Université Paris Diderot
UFR de mathématiques
Licence de mathématiques
L3 ­ Logique et théorie des ensembles
Interrogation écrite no
1
Exercice 1.
1. Soit X et Y deux ensembles. Montrer l'existence de l'ensemble des fonctions de X dans Y à partir
des axiomes de la théorie des ensembles.
2. Montrer que si A et B sont deux ensembles avec A B, alors A B.
Exercice 2. On considère l'ensemble N des entiers naturels, muni de la relation de divisibilité : un
entier a divise un entier b, noté a|b, s'il existe un entier naturel k tel que b = ka.
1. Montrer que la relation de divisibilité définit un ordre partiel sur N.
2. Montrer que N admet un élément maximum.
3. Montrer que deux éléments a, b N ont toujours une borne supérieure et une borne inférieure.
Identifier a b et a b.
Exercice 3. Montrer qu'il n'existe pas d'ensemble qui a pour éléments tous les singletons. Indication :
raisonner par l'absurde ; si un tel ensemble X existait, considérer Y = X et conclure à une contradiction.
Exercice 4. Soit X un ordre partiel défini sur un ensemble X.
1. Soit A une partie de X. Montrer que si A admet un plus grand élément m, alors m est aussi la

  

Source: Abbes, Samy - Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes, Université Paris 7 - Denis Diderot

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences