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Universite d'Orleans UFR Sciences
 

Summary: Universit´e d'Orl´eans
UFR Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Licence 1 ­ Semestre 1
Novembre 2008
SLO1MA12 ­ Introduction au raisonnement math´ematique 2
Examen partiel du 5 novembre 2008. Dur´ee : 1h30.
Tout ´equipement ´electronique est interdit pour l'´epreuve.
R´eponse Exercice 1. Voir le cours.
R´eponse Exercice 2.
1. (a) Oui, exemple : A = [-1 ; 2] et x = 0. Alors A - {x} = [-1 ; 0[]0 ; 2] et sup A = 2 et sup(A - {x}) = 2.
(b) Oui, exemple : A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 } et x = 11. Alors A - {x} = {1 ; 3 ; 5 ; 7 } et sup A = 11 ce qui donne
sup(A - {x}) = 7.
2. ·A est une partie non vide et major´ee donc sa borne sup´erieure existe. Soit x A tel que x < sup A.
A - {x} est une partie non vide (poss`ede au moins un ´el´ement) et major´ee (par n'importe quel majorant de A)
donc sa borne sup´erieure existe.
·y A, y sup A donc y A - {x}, y sup A. Donc sup A est un majorant de l'ensemble A - {x} or
sup(A - {x}) est le plus petit majorant de cet ensemble donc :
sup(A - {x}) sup A.
·Soit z R tel que z < sup A. On choisit z

  

Source: Anker, Jean-Philippe - Laboratoire de Mathématiques et Applications, Physique Mathématique, Université d'Orléans

 

Collections: Mathematics