Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Mat. BSc tanri ZH, 2007/10/09 Megoldsvzlatok Algebra3 1a Ltezik, pl. (x) megfelel (0.2 pont), hiszen minden idel egyben rszgyr is, s (x) 6= R,
 

Summary: Mat. BSc tanári ZH, 2007/10/09  Megoldásvázlatok Algebra3
1a Létezik, pl. (x) megfelel (0.2 pont), hiszen minden ideál egyben részgy¶r¶ is, és (x) 6= R,
mivel pl. 1 62 (x) (0.1 pont). (Sok más lehet®ség is van, pl. a csupa páros fokú tagot
tartalmazó polinomok halmaza.)
1b Ilyen a f0g (0.1 pont), továbbá a konstans polinomok 7 elem¶ részhalmaza (0.2 pont).
Más nincs, ugyanis, ha egy f legalább els®fokú polinom eleme egy S részgy¶r¶nek, akkor
minden k > 0 egészre f k 2 S, tehát jSj = 1 (0.3 pont). Csak konstansokból sincs több
részgy¶r¶, s®t már az összeadásra sincs más részcsoport, hiszen annak elemszáma osztója
a konstansok csoportja elemszámának, azaz 7-nek (0.1 pont).
2 Mivel '(0) = 0R , ezért azt kell belátni, hogy minden elem képe 0R (0.2 pont), azaz
Ker ' = C (0.2 pont). Tudjuk, hogy a mag ideál (0.1 pont), és testben csak a két triviális
ideál létezik (0.1 pont). Így azt kell csak igazolni, hogy Ker ' 6= f0g (0.1 pont). Ez valóban
teljesül, hiszen ha '(z 1 ) = '(z 2 ), akkor '(z 1 z 2 ) = 0R , ahol z = z 1 z 2 6= 0 (0.3 pont). 
Másik bizonyítás: Az el®z® mondattal kezdjük (0.3 pont). Legyen w tetsz®leges komplex,
ekkor '(w) = '(z)'(w=z) = 0R  '(w=z) = 0R (0.7 pont).
3a I az f = (x 2) 2 -nel osztható polinomokból áll, tehát I = (f) (0.3 pont).
3b g + I = h+ I () h g 2 I () f j h g, azaz egy-egy maradékosztály az f-fel való
osztási maradékokkal, vagyis a legfeljebb els®fokú polinomokkal jellemezhet® (0.2 pont).
Az ilyen a + bx polinomoknál a és b is 11-féle lehet, tehát jR=Ij = 11 2 = 121 (0.2 pont).
3c Ez nem az R=I nulleleme, x 2 +x 6+ I 6= I, hiszen g = x 2 +x 6 = (x 2)(x+3) 62 I

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics