| | |
Summary: Algebra sáv Lie-algebrák: feladatok (I. rész) 2004. május 17.
L általában Lie-algebrát fog jelenteni. A feladatok során, amennyiben másképp nem mondjuk,
mindig föltehetjük, hogy a szerepl® Lie-algebrákhoz tartozó alaptest algebrailag zárt, és a karakte-
risztikája 0.
1. Igazoljuk, hogy tetsz®leges x L-re az ad x sajátvektorai által generált altér részalgebrát alkotnak
L-ben.
2. Izomora erejéig osztályozzuk a három dimenziós Lie-algebrákat.
3. Legyen 0 = I0 < I1 < · · · < In = L nomíthatatlan ideállánc L-ben, és legyen N L tetsz®leges
ideál. Bizonyítsuk be, hogy N pontosan akkor nilpotens, ha minden t-re [NIt+1] It teljesül.
4. Mutassuk meg, hogy egy algebra deriválásai nem feltétlenül alkotnak (asszociatív) részalgebrát.
5. Jelölje Inn(L) egy L Lie-algebra bels® deriválásainak Lie-algebráját (azaz amelyek az algebra ad-
jungált reprezentációjából adódnak), és legyen L = N(3, C) a 3 × 3-as komplex szigorúan föls®
háromszögmátrixok Lie-algebrája. Határozuk meg dim Der(L)/ Inn(L)-t.
6. Igazoljuk, hogy minden nem triviális nilpotens Lie-algebrának van olyan deriválása, ami nem bels®.
7. Mutassuk meg, hogy ha x L-re ad x nilpotens, akkor exp(ad x) = 1
n! (ad x)n
automorzmusa
L-nek.
8. Mutassunk példát olyan p karakterisztikájú lineáris Lie algebrára, amely föloldható, de nem hozható
háromszög alakra. (L választható 2 dimenziósnak is.)
|
