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DMA IMECC UNICAMP MATRIZES 1o Sem / 2009
 

Summary: DMA ­ IMECC ­ UNICAMP
MATRIZES 1o Sem / 2009
Prof. ROBERTO ANDREANI Sala 110
LISTA DE EXERC´ICIOS 3
1. Sejam P, Q IRn×n projetores tais que PQ = QP. Provar que PQ ´e uma proje¸c~ao
cujo n´ucleo ´e N(P) + N(Q) e cuja imagem ´e Im(P) Im(Q)
2. Dado P IRn×n analizar a verdade ou falsidade das seguintes afirma¸c~oes:
(a) Se IRn = N(P) Im(P), ent~ao P ´e uma proje¸c~ao.
(b) Se IRn = N(P) + Im(P), ent~ao P ´e uma proje¸c~ao.
(c) Se P ´e uma proje¸c~ao ent~ao I - P ´e uma proje¸c~ao.
(d) Se P ´e uma proje¸c~ao ent~ao Im(P) = N(I - P) e Im(I - P) = N(P).
3. Se Im(I - P) = N(P), provar que que P ´e uma proje¸c~ao.
4. Seja A IRn×n. Prove que IRn = Im(A) N(A) se, e somente se, N(A) = N(A2).
5. Sejam P, Q IRn×n projetores. Prove que as seguintes afirma¸c~aoes s~ao equivalentes.
(a) P + Q ´e uma proje¸c~ao
(b) PQ + QP = 0
(c) PQ = PQ = 0
6. Seja P IRn×n uma proje¸c~ao. Prove que os vetores de IRn, v e (1 - t)v + tPv, para
todo v IRn e t IR, t^em a mesma imagem por P.
7. Dados S, T subespa¸c~os de IRn tal que IRn = S T, construir um projetor P que seja

  

Source: Andreani, Roberto - Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, Universidade Estadual de Campinas

 

Collections: Mathematics