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Exercice 1 (Vitesse de convergence de l'algorithme des k-p.p.v.) On considre le problme de la rgression aux moindres carrs. L'espace des entres est
 

Summary: 1
Exercice 1 (Vitesse de convergence de l'algorithme des k-p.p.v.)
On considère le problème de la régression aux moindres carrés. L'espace des entrées est
X = [0, A[d pour un réel A > 0 et un entier d 3. L'espace des sorties est Y = [-B, B]
pour un réel B > 0. Soit P une distribution sur X × Y telle que pour tout x X,
Var (Y |X = x) 2 pour > 0, et telle que la fonction : x E(Y |X = x) est
L-lipschitzienne pour L > 0. On notera µ la première marginale de P. Soit Bx, la boule
fermée de centre x et de rayon (pour la norme euclidienne · ). Soit ^g l'estimateur des
k-p.p.v. pour 1 k n, et R(g) = E(Y - g(X))2 le risque quadratique d'une fonction de
régression g.
1. Pour 0 < < A fixé, donner une partition de X telle que le diamètre de chacun de
ces éléments est au plus

d et telle que le nombre d'éléments de la partition soit
inférieur ou égal à A d
, où u désigne le plus petit entier supérieur ou égal à u.
On notera A1, . . . , Am( ) les éléments de cette partition.
2. Soient (X, Y ), (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn) des v.a. i.i.d. tirées suivant P. Pour tout x X,
soit ^X(x) le plus proche voisin de x parmi X1, . . . , Xn. Montrer que pour tout x dans
Aj, on a P ^X(x) - x >

  

Source: Audibert, Jean-Yves - Département d'Informatique, École Normale Supérieure

 

Collections: Computer Technologies and Information Sciences