Home

About

Advanced Search

Browse by Discipline

Scientific Societies

E-print Alerts

Add E-prints

E-print Network
FAQHELPSITE MAPCONTACT US


  Advanced Search  

 
Mat tanri I/5. 4. feladatsor: megoldsok 2000. oktber 3. 1. Lehet csupn a dencikra tmaszkod megoldsokat is adni; itt helyenknt az egyszersg kedvrt olyan
 

Summary: Mat tanári I/5. 4. feladatsor: megoldások 2000. október 3.
1. Lehet csupán a deníciókra támaszkodó megoldásokat is adni; itt helyenként az egyszer¶ség kedvéért olyan
bizonyítások következnek, amelyekben szerepel a számok kanonikus felbontása. Többször is kihasználjuk a
legkisebb közös többszörösnek azt a tulajdonságát, hogy ha egy prímhatvány, p
osztja [a, b]-t, akkor osztja
a és b valamelyikét is.
a) (a, b) = (a + b, a - b) hamis: ha pl. a és b mindketten páratlanok, akkor a legnagyobb közös osztójuk
is páratlan lesz, ezzel szemben a + b és a - b páros lévén, 2 |(a + b, a - b). Megjegyzend® azonban,
hogy egyrészt (a, b) | a + b és (a, b) | a - b, tehát (a, b) |(a + b, a - b), másrészt, az alaplemma alapján
(a + b, a - b) = (a + b, 2a), és hasonlóan (a + b, a - b) = (a + b, 2b), tehát (a + b, a - b) |(2a, 2b), ami egy
korábbi eredmény alapján egyenl® 2(a, b)-val. Tehát valójában legföljebb egy 2-es faktorban térhetnek
csak el a vizsgált legnagyobb közös osztók.
b) (a, bc) = (a, b)(a, c) hamis: általában pl. (a, a2
) = a = a2
= (a, a)(a, a).
c) (a, bc) = 1 (a, b) = 1, (a, c) = 1 igaz: következik pl. a legnagyobb közös osztó lineáris kombinációként
való el®állíthatóságából.
d) (a, b, c) = 1 (a, b) = 1, vagy (a, c) = 1, vagy (b, c) = 1 hamis: ez látszik pl. az a = 6, b = 10, c = 15
választással.
e) (a, b, c) = (a, b), (a, c) igaz: könnyen ellen®rizhet® a deníciókból és a a legnagyobb közös osztók

  

Source: Ágoston, István - Institute of Mathematics, Eötvös Loránd University

 

Collections: Mathematics