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Westf alische WilhelmsUniversit at M unster WS 2003/04 Institut f ur Numerische Mathematik
 

Summary: Westf˜ alische Wilhelms­Universit˜ at M˜ unster WS 2003/04
Institut f˜ ur Numerische Mathematik
Prof. Dr. A. Arnold / E. Dhamo
13. ˜
Ubungsblatt zur Vorlesung ``Partielle Di#erentialgleichungen''
(Kompakte Operatoren, Fouriersynthese)
1. Aufgabe (7 Punkte)
Man diskutiere die Methode der Eigenfunktionsentwicklung f˜ ur:
u t = u xx , (x, t) # (0, L) × (0, #),
u x (0, t) = u(0, t), u(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x), x # (0, L).
Hinweis: Entwickeln Sie nach Eigenwerten/Eigenfunktionen (wo liegen die Eigenwerte?); pr˜ ufen
Sie die Voraussetzungen f˜ ur den Entwicklungssatz einzeln nach: Invertierbarkeit von L (L = # 2
x
mit geeignetem Definitionsbereich!); Symmetrie; Kompaktheit von L -1 auf L 2 (0, L) (betrachten
Sie dazu die Abbildung f ## L -1 f = v mit v xx = f # L 2 (0, L), v x (0) - v(0) = 0, v(L) = 0. v
kann dann durch zweimalige Integration explizit dargestellt werden).
2. Aufgabe (7 Punkte)
Man betrachte die Schr˜ odingergleichung f˜ ur die komplexwertige Wellenfunktion u:
(#) - iu t = u xx - V (x)u =: Lu

  

Source: Arnold, Anton - Institut für Analysis und Scientific Computing, Technische Universität Wien

 

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